Questões de matemática

Origem: Fuvest-gv

(Fuvest-gv-1991) Dado um quadrado Q cujo lado tem comprimento (L)=1, considere a seqüência infinita de quadrados {Q,Q‚,Q3,...} onde cada quadrado é obtido unindo-se os pontos médios dos lados do quadrado anterior. A soma das áreas de todos os quadrados da seqüência é:
a) 4
b) (4√2)/(√2-1)
c) 4/3
d) 2
e) √2/(√2-1)

resposta:[D]

(Fuvest-gv-1991) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é:
a) 125°
b) 110°
c) 120°
d) 100°
e) 135°

resposta:[A]

(Fuvest-gv-1991) Um polígono do plano é determinado pelas inequações x ≥ 0, y ≥ 0, 5x + 2y ≤ 20 e x + y ≤ 7. Seus vértices são:
a) (0, 0), (4, 0), (0, 7) e (2 ,5)
b) (0, 0), (4, 0) e (0, 7)
c) (0, 0), (7,0) e (2 ,5)
d) (0, 0), (7,0), (2 ,5) e (0, 10)
e) (4, 0), (7, 0), (0, 10) e (0, 7)

resposta:[A]

(Fuvest-gv-1991) Uma loja anuncia um desconto sobre o valor total, X, das compras de cada cliente, de acordo com o seguinte esquema:

1) Desconto de 10% para 10000 ≤ X < 20000
2) Desconto de 15% para X ≥ 20000

Um cliente compra um par de sapatos por Cr$ 18.000,00 e um par de meias por Cr$ 2.000,00. O vendedor muito gentilmente se ofereceu para reduzir o preço das meias para Cr$ 1.500,00 e o cliente aceita a oferta.
No caixa são aplicadas as regras do desconto promocional. Nessas condições, pode-se dizer que o cliente:
a) teve um prejuízo de 700 cruzeiros.
b) teve um lucro de 500 cruzeiros.
c) não teve nem lucro nem prejuízo.
d) teve um lucro de 450 cruzeiros.
e) teve um prejuízo de 550 cruzeiros.

resposta:[E]

(Fuvest-gv-1991) A equação

x¦ - cx⁴ + x³ + (3a - 4b)x² + (a - 2b - 1)x + (ab - 3) = 0

admite x = 1 como raiz, x = 0 como raiz dupla e duas outras raízes diferentes de zero. Os valores de a, b, c são respectivamente iguais a:

a) - 2, - 3/2, 2
b) - 1, - 3, 15
c) 2, 3/2, 0
d) 3, 1, 7
e) 3, - 3/2, 17

resposta:[D]

(Fuvest-gv-1991) Dado o sistema:

{2^x = 8^y⁺¹
þ
ÿ9^y = 3^x ª

pode-se dizer que x + y é igual a:
a) 18
b) - 21
c) 27
d) 3
e) - 9

resposta:[C]

(Fuvest-gv-1991) Uma indústria produz um total de X unidades de um produto por semana. O lucro obtido em cada unidade é de 20 reais se X ≤ 800. Esse lucro de 20 reais por unidade decresce de uma quantidade igual a [0,02 . (X - 800)] reais sempre que X > 800. Para que a indústria obtenha maior lucro possível X deve ser igual a:
a) 900
b) 800
c) 1800
d) 9000
e) 80000

resposta:[A]

(Fuvest-gv-1991) Na figura a seguir I e J são os centros das faces BCGF e EFGH do cubo ABCDEFGH de aresta a.
Os comprimentos dos segmentos AI e IJ são respectivamente:
a) a√6/2, a√2
b) a√6/2, a√2/2
c) a√6, a√2/2
d) a√6, a√2
e) 2a, a/2

resposta:[B]

(Fuvest-gv-1991) Em um certo país com população A(em milhões de habitantes) é noticiada pela TV a implantação de um novo plano econômico pelo governo. O número de pessoas que já sabiam da notícia após t ≥ 0 horas é dado por:

f(t) = A/(1 + 4√(eÞ ).

Sabe-se também que decorrida 1 hora da divulgação do plano, 50% da população já estava ciente da notícia.
a) Qual a porcentagem da população que tomou conhecimento do plano no instante em que foi noticiado≠
b) Qual a população do país≠
c) Após quanto tempo 80% da população estava ciente do plano≠ Dados do problema: (L)n3 = 1,09; (L)n2 = 0,69.

resposta:a) 20 %
b) 2,76 milhões de habitantes
c) 2 horas

(Fuvest-gv-1991) As atuais placas de licenciamento de automóveis constam de sete símbolos sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos.
a) Quantas placas distintas podemos ter sem o algarismo zero na primeira posição reservada aos algarismos≠
b) No conjunto de todas as placas distintas possíveis, qual a porcentagem daquelas que têm as duas primeiras letras iguais≠

resposta:a) 158184000
b) 1/26 ¸ 3,85 %

(Fuvest-gv-1991) Os números 1, 3, 6, 10, 15,... são chamados de números triangulares, nomenclatura esta justificada pela seqüência de triângulos. (imagem abaixo)
a) Determinar uma expressão algébrica para o n-ésimo número triangular;
b) Provar que o quadrado de todo número inteiro maior que 1 é a soma de dois números triangulares consecutivos.

resposta:a) a_n =[(1+n).n]/2

b) Sendo a_n÷ e a_n (n>1) dois termos consecutivos da seqüência (a_n) dos números triangulares, temos:
a_n÷+a_n=[(1+n-1).(n-1)]/2+[(1+n).n]/2=
= (n²-n+n+n²)/2=2n²/2=n²

(Fuvest-gv-1991) Na figura a seguir ABCD indica um quadrado de lado unitário e ABE um triângulo equilátero.
Prove que:
a) α = 15°;
b) tgα = 2 - √3

resposta:a)
1 - ângulo EAB = 60° porque o Δ ABE é eqüilátero.
2 - ângulo EAD = 30° pois o ângulo BAD = 90° e o ângulo EAB = 60°.
3 - ADE = AED = 75° pois o Δ AED é isósceles e o ângulo DAE = 30°.
4 - α = ângulo CDE = 15° pois o ângulo CDA = 90° e o ângulo ADE = 75°

b) tg α = tg 15° = tg (45° - 30°) =
= (tg45°-tg30°)/(1+tg45° . tg30°) =
= (1-√3/3)/(1+√3/3) = 2 - √3

(Fuvest-gv-1991) a) Dar uma equação da bissetriz do ângulo agudo entre a reta de equação 4x - 3y = 4 e o eixo dos x;
b) Determinar a circunferência inscrita no triângulo de vértices (1, 0), (4, 0) e (4, 4).

resposta:a) x - 2y - 1 = 0
b) (x - 3) + (y - 1)² = 1

(Fuvest-gv-1991) Dentre todos os números complexos, z = ¦ z ¦ (cos&teta; + isen&teta;), 0 ≤ &teta; < 2π(Pi), que satisfazem a inequação ¦ z - 25i ¦ ≤ 15, determinar aquele que tem o menor argumento &teta;.

resposta:z = 12 + 16i

(Fuvest-gv-1991) Determinar quatro números reais de modo que suas somas, três a três, sejam 10, 11, 12 e 13.

resposta:16/3; 13/3; 10/3; 7/3

(Fuvest-gv-1991) As tarifas praticadas por duas agências de locação de automóveis, para veículos idênticos são:

Agência A √ 14.400 cruzeiros por dia (seguros incluídos) mais 167,50 cruzeiros por km rodado.
Agência B √ 14.100 cruzeiros por dia (seguros incluídos) mais 170,00 cruzeiros por km rodado

a) Para um percurso diário de 110 km, qual agência oferece o menor preço≠
b) Seja x o número de km percorridos durante um dia. Determinar o intervalo de variação de x de modo que seja mais vantajosa a locação de um automóvel na Agência A do que na B.

resposta:a) Agência B
b) >120 km

(Fuvest-gv-1991) Determinar o número real —≠0 de modo que a equação a seguir, admita duas raízes reais simétricas.

resposta:-12

(Fuvest-gv-1991) Um cálice com a forma de cone contém V cm³ de uma bebida. Uma cereja de forma esférica com diâmetro de 2 cm é colocada dentro do cálice. Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas laterais do cálice e o líquido recobre exatamente a cereja a uma altura de 4 cm a partir do vértice do cone, determinar o valor de V.

resposta:4π(Pi)/3 cm³

(Fuvest-gv-1991) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados:

A - 48% A e B - 18%
B - 45% B e C - 25%
C - 50% A e C - 15%
nenhuma das 3 - 5%

a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas A, B e C≠
b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das três marcas≠

resposta:a) 10 %
b) 57 %