Questões de matemática

Origem: Uerj

(Uerj-1998) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto.
O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de:
a) 150
b) 160
c) 190
d) 200

resposta:[D]

(Uerj-1998) Ao analisar as notas fiscais de uma firma, o auditor deparou-se com a seguinte situação: (imagem abaixo)
Não era possível ver o número de metros vendidos, mas sabia-se que era um número inteiro. No valor total, só apareciam os dois últimos dos três algarismos da parte inteira.
Com as informações anteriores, o auditor concluiu que a quantidade de cetim, em metros, declarada nessa nota foi:
a) 16
b) 26
c) 36
d) 46

resposta:[C]

(Uerj-1998) (imagem abaixo) Admita que os pássaros levem exatamente três semanas para construir seu ninho, nas condições apresentadas nos quadrinhos.
Se eles quiserem construir o ninho em apenas duas semanas, trabalhando 9 horas diárias, deverão juntar, por dia, a seguinte quantidade de gravetos:
a) 600
b) 800
c) 900
d) 1000

resposta:[D]

(Uerj-1998) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana: (imagem abaixo)
Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, além do maior número possível de lapiseiras, o número de corretores comprados foi igual a:
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14

resposta:[B]

(Uerj-1998) Protéticos e dentistas dizem que a procura por dentes postiços não aumentou. Até declinou um pouquinho. No Brasil, segundo a Associação Brasileira de Odontologia (ABO), há 1,4 milhão de pessoas sem nenhum dente na boca, e 80% delas já usam dentadura. Assunto encerrado.
(Adaptado de Veja, outubro/97)

Considere que a população brasileira seja de 160 milhões de habitantes.
Escolhendo ao acaso um desses habitantes, a probabilidade de que ele não possua nenhum dente na boca e use dentadura, de acordo com a ABO, é de:
a) 0,28%
b) 0,56%
c) 0,70%
d) 0,80%

resposta:[C]

(Uerj-1998) No sistema a seguir, x e y são números reais:

{2x (x - 1) + y(x - 1) = 4(x - 1)
þ
ÿ x² + y = 7

A soma de todos os valores de x que satisfazem a esse sistema é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

resposta:[C]

(Uerj-1998) (imagem abaixo)
O decágono da figura anterior foi dividido em 9 partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2 triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao do quadrado, e mais 4 outros triângulos.
Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono é equivalente a:
a) 14 T + 3 Q
b) 14 T + 2 Q
c) 18 T + 3 Q
d) 18 T + 2 Q

resposta:[A]

(Uerj-1998) Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura a seguir: (imagem abaixo)
Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a medida do ângulo CÂD corresponde a:
a) 60°
b) 45°
c) 30°
d) 15°

resposta:[B]

(Uerj-1998) Sabe-se que o polinômio P(x) = -2x³ - x² + 4x + 2 pode ser decomposto na forma P(x) = (2x + 1) . (-x² + 2). Representando as funções reais f(x) = 2x + 1 e g(x) = -x² + 2, num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, obtém-se o gráfico a seguir: (imagem abaixo)
Tendo por base apenas o gráfico, é possível resolver a inequação -2x³ - x² + 4x + 2 < 0.
Todos os valores de x que satisfazem a essa inequação estão indicados na seguinte alternativa:
a) x < -√2 ou x > - 1/2
b) x < - √2 ou x > √2
c) x < - √2 ou - 1/2 < x < √2
d) - √2 < x < - 1/2 ou x > √2

resposta:[D]

(Uerj-1998) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico a seguir, por 6 pontos de uma mesma reta. (imagem abaixo)
Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a:
a) 4,50
b) 5,00
c) 5,50
d) 6,00

resposta:[A]

(Uerj-1998) Ao observar, em seu computador, um desenho como o apresentado a seguir, um estudante pensou tratar-se de uma curva. (imagem abaixo)
Porém, após aumentar muito a figura, verificou que a tal "curva" era, de fato, um polígono, com o menor perímetro possível, formado por uma quantidade finita de lados, todos paralelos ao eixo x ou ao eixo y. Verificou ainda que esse polígono possuía um lado em cada uma das seguintes retas: x = 1, x = 8, y = 2 e y = 5.
Se foi utilizada a mesma unidade de comprimento em ambos os eixos, a medida do perímetro desse polígono é:
a) 10
b) 13
c) 18
d) 20

resposta:[D]

(Uerj-1998) Dispondo de canudos de refrigerantes, Tiago deseja construir pirâmides. Para as arestas laterais, usará sempre canudos com 8cm, 10cm e 12 cm de comprimento. A base de cada pirâmide será formada por 3 canudos que têm a mesma medida, expressa por um número inteiro, diferente das anteriores.
Veja o modelo a seguir: (imagem abaixo)
A quantidade de pirâmides de bases diferentes que Tiago poderá construir, é:
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7

resposta:[A]

(Uerj-1998) As contas correntes de um banco são codificadas através de um número seqüencial seguido de um dígito controlador. Esse dígito controlador é calculado conforme o procedimento a seguir: (imagem abaixo)
A conta 643-5, aberta na década de 80, foi cadastrada no ano de:
a) 1985
b) 1986
c) 1987
d) 1988

resposta:[B]

(Uerj-1998) Geraldo contraiu uma dívida que deveria ser paga em prestações mensais e iguais de R$500,00 cada uma, sem incidência de juros ou qualquer outro tipo de correção monetária. Um mês após contrair essa dívida, Geraldo pagou a 1 prestação e decidiu que o valor de cada uma das demais prestações seria sempre igual ao da anterior, acrescido de uma parcela constante de K reais, sendo K um número natural. Assim a dívida poderia ser liquidada na metade do tempo inicialmente previsto.
a) Considerando t o tempo, em meses, inicialmente previsto, t>2 e t-2 como divisor par de 2000, demonstre que k=2000/(t-2).
b) Se a dívida de Geraldo foi igual a R$9000,00, calcule o valor da constante K.

resposta:a) Dívida original em t prestações √ valor total=500t
Com a mudança em t/2 prestações √ valor total=500+500+K+500+2K+500+3k+...+(t/2-1)K = {250+[(t-2)K/8]}.t
Igualando os totais, obtemos: K = 2000/(t-2)

b) K = 125

(Uerj-1998) A figura do R³ a seguir representa uma pirâmide de base quadrada ABCD em que as coordenadas são A (0,0,0), B (4,2,4) e C (0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos demais. (imagem abaixo)
A partir da análise dos dados fornecidos, determine:
a) as coordenadas do vértice D e a medida de cada aresta de base;
b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é igual a 72.

resposta:a) D = (-4, 4, 2). Medida de cada lado = 6
b) V = (-2, -4, 4) ou V = (2, 4, -4)

(Uerj-1998) (imagem abaixo)
Considere os pontos A, B e C nas condições mencionadas na tirinha.
a) Se, A, B e C pertencem a uma mesma reta, calcule a distância entre A e C quando:
. A está situado entre B e C;
. A está situado fora do segmento BC.
b) Se A, B e C estiverem no plano cartesiano, sendo A um ponto móvel, B um ponto do semi-eixo positivo das abscissas (x) e C a origem (0,0), determine a equação da linha descrita pelo ponto A e identifique a curva correspondente.

resposta:a) A situado entre B e C = 10/3 cm
A situado fora de B e C = 10 cm

b) 3x² + 3y² - 40x + 100 = 0, circunferência de círculo.

(Uerj-1998) No interior de uma floresta, foi encontrada uma área em forma de retângulo, de 2 km de largura por 5 km de comprimento, completamente desmatada. Os ecologistas começaram imediatamente o replantio, com o intento de restaurar toda a área em 5 anos. Ao mesmo tempo, madeireiras clandestinas continuavam o desmatamento, de modo que, a cada ano, a área retangular desmatada era transformada em outra área também retangular. Veja as figuras: (imagem abaixo)
A largura (h) diminuía com o replantio e o comprimento (b) aumentava devido aos novos desmatamentos.
Admita que essas modificações foram observadas e representadas através das funções: h(t) = -(2t/5) + 2 e b(t) = 5t + 5 (t = tempo em anos; h = largura em km e b = comprimento em km).

a) Determine a expressão da área A do retângulo desmatado, em função do tempo t (0 ≤ t ≤ 5), e represente A(t) no plano cartesiano.
b) Calcule a área máxima desmatada e o tempo gasto para este desmatamento, após o início do replantio.

resposta:a) A(t) =[(-2t/5) + 2] . (5t + 5) Ì A(t) = -2t² + 8t + 10.
Observe o gráfico a seguir (imagem abaixo)
b) Área máxima: 18 km². Ocorreu dois anos após o início do replantio.

(Uerj-1998) (imagem abaixo)
Na figura anterior, há um círculo de raio R e uma reta (e) que contém o seu centro - ambos do mesmo plano. Fez-se uma rotação de uma volta desse círculo ao redor da reta (e). O menor arco AB nele assinalado descreveu a superfície de uma calota esférica, cuja área pode ser calculada através da fórmula 2π(Pi)Rm, sendo m a projeção ortogonal do arco AB sobre a reta (e).
a) Calcule o comprimento da corda AB, do círculo original, em função de R e m.
b) Demonstre que a área da calota esférica gerada pelo arco AB é equivalente à área plana limitada por uma circunferência de círculo cujo raio tem a mesma medida da corda AB.

Esfera e Geometria esférica

resposta:a) O Δ ABC é retângulo: AB² = m . 2R Ì AB = √(2Rm)

b) Área plana do interior dessa circunferência de raio AB é dado por π(Pi)AB², então:
π(Pi)AB² = π(Pi) [√(2Rm)]² = π(Pi) . 2Rm = 2π(Pi)Rm

(Uerj-1997) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escrever um poema do qual extraímos o fragmento a seguir:

Às folhas tantas de um livro de Matemática,
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela,
até que se encontraram no Infinito.
"Quem és tu≠" - indagou ele em ânsia radical.
Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de hipotenusa."
(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)

A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta:
a) "Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa."
b) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa."
c) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa."
d) "Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa."

resposta:[D]