Questões de matemática

Origem: Ufla

(Ufla-2006) No projeto de reforma de uma casa, pretende-se fazer um jardim em forma de triângulo numa área retangular de dimensões 15 m × y m. Qual deve ser o valor de y, de modo que o jardim tenha uma área de 23 m²≠ (imagem abaixo)
a) 4,0 m
b) 1,5 m
c) 3,0 m
d) 1,0 m
e) 3,5 m

resposta:[A]

(Ufla-2006) Um reservatório de forma cônica para armazenamento de água tem capacidade para atender às necessidades de uma comunidade por 81 dias. Esse reservatório possui uma marca a uma altura h para indicar que a partir desse nível a quantidade de água é suficiente para abastecer a comunidade por mais 24 dias. O valor de h é (imagem abaixo)
a) h = (2/9)H
b) h = (2/3)H
c) h = (8/27)√H
d) h = (1/10) ³√H
e) h = (1/2)H

resposta:[B]

(Ufla-2006) Uma questão interessante é obter círculos que tangenciam um círculo central e que sejam consecutivamente tangentes. Considerando o problema de se tentar envolver um círculo central com 7 círculos, com os oito círculos de mesmo raio, um esboço da solução seria da forma: (imagem abaixo)
Nesse caso, pode-se afirmar que
a) o desenho está correto e vale para qualquer valor de raio.
b) o desenho está correto; porém, tal fato é válido apenas para um valor específico do raio.
c) tal situação não pode ocorrer e o desenho não representa a solução do problema.
d) o desenho está correto, mas o raio tem que ser suficientemente pequeno.
e) o desenho é falso, pois um círculo não pode tangenciar simultaneamente outros três círculos.

resposta:[C]

(Ufla-2006) As retas y = -x, y = -x + 2, y = x, y = x + 1 determinam um retângulo de área
a) 3
b) 9/4
c) 3/4
d) 1
e) 2

resposta:[D]

(Ufla-2006) Uma bolinha de tênis, após se chocar com o solo, no ponto O, segue uma trajetória ao longo de quatro parábolas, como pode ser observado no gráfico. A altura máxima atingida em cada uma das parábolas é 3/4 do valor da altura máxima da parábola anterior. Sabendo-se que as distâncias entre os pontos onde a bolinha toca o solo são iguais e que a equação da primeira parábola é y = - 4x² + 8x, a equação da quarta parábola é (imagem abaixo)
a) y = x² - 14x + 48
b) y = - x² - 14x + 48
c) y = - (27/16)(x - 6)(x - 8)
d) y = - (3/4)³(x - 6)(x - 8)
e) y = - 8x² + 16x

resposta:[C]

(Ufla-2006) Um motorista escolhe um trajeto que sabe ser 20% maior que o trajeto que usualmente toma, pois nesse novo trajeto poderá desenvolver uma velocidade média 100% maior que a do trajeto usual. O tempo de viagem diminuirá
a) 40%
b) 50%
c) 100%
d) 9%
e) 20%

resposta:[A]

(Ufla-2006) Um modo prático e instrutivo de ilustrar as relações entre conjuntos é por meio dos chamados diagramas de linhas.
Se A é um subconjunto de B, A ⊂ B, o diagrama é da forma apresentada na figura 1.
Uma outra forma de expressar tais relações é o diagrama de Venn. Nas opções da figura 2, o diagrama de Venn está relacionado ao diagrama de linhas. Assinale a opção INCORRETA.

Teoria dos conjuntos

resposta:[B]

(Ufla-2006) A tabela abaixo fornece os dados simulados do crescimento de uma árvore. A variável X é o tempo em anos e Y, a altura em dm. O esboço do gráfico que melhor representa os dados da tabela é

resposta:[C]

(Ufla-2006) Determine os valores de x de modo que o número complexo z = 2 + (x - 4i) (2 + xi) seja real.
a) 2√2
b) 1/3
c) 2
d) √2
e) √3

resposta:[A]

(Ufla-2006) Os computadores trabalham com números na base 2 por uma série de fatores. Nessa base, os resultados da soma e do produto (1100101) + (110101) e (101).(111) são, respectivamente,
a) (11111110), (11101)
b) (1000011), (100001)
c) (10101010), (101010)
d) (10011010), (100011)
e) (11100011), (111000)

resposta:[D]

(Ufla-2006) Uma loja vende diariamente 40 unidades de um produto a R$ 50,00 cada uma. Quando esse produto entra em promoção, observa-se que para cada R$ 1,00 de desconto no preço do produto, as vendas aumentam 10 unidades.
a) Calcule o valor do desconto que faz com que o faturamento seja máximo.
b) Calcule o faturamento máximo que a loja pode obter com essa promoção.

resposta:a) o desconto de 23 reais produz faturamento máximo.

b) 7.290 reais.

(Ufla-2006) Um aparelho é construído para medir alturas e consiste de um esquadro com uma régua de 10 cm e outra régua deslizante que permite medir tangentes do ângulo de visada α, conforme o esquema da figura 1.
Uma pessoa, utilizando o aparelho a 1,5 m do solo, toma duas medidas, com distância entre elas de 10 metros, conforme esquema da figura 2.
Sendo (L) = 30 cm e (L)‚ = 20 cm, calcule a altura da árvore.

resposta:11,5 metros

(Ufla-2006) Em um programa de auditório, utiliza-se uma roleta, como na figura. (imagem abaixo)
a) A roleta é girada três vezes. Calcule a probabilidade de os números obtidos no primeiro giro, no segundo giro e no terceiro giro, serem, respectivamente, 1, 2 e 3.
b) A roleta é girada duas vezes. Calcule a probabilidade de a soma do número obtido no primeiro giro mais o número obtido no segundo giro ser menor que 13.

resposta:a) Sejam os eventos
A: 1 no 1(0). giro
B: 2 no 2(0). giro
C: 3 no 3(0). giro
Temos que:
P( A º B º C) = (1/8) . (1/8) . (1/8) = 1/512

b) Seja o evento D: soma menor que 13. Temos que o evento complementar do evento D é î: soma igual a 13 ou 14.
Logo, P(î) = [(1/4) . (1/8) + (1/8) . (1/4)] + [(1/4) . (1/4)] = 1/8
Portanto,
P(D) = 1 - P(î) = 1 - 1/8 = 7/8.

(Ufla-2006) Sabendo que sen (a/2) = √[(1 - cos a)/2) e
sen(a+b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a), calcule o seno de 37,5°.

resposta:{√ [ 8 + 2(√2) - 2√6 ] }/4

(Ufla-2007) As aranhas são notáveis geômetras, já que suas teias revelam variadas relações geométricas. No desenho, a aranha construiu sua teia de maneira que essa é formada por hexágonos regulares igualmente espaçados. Qual é a menor distância que a aranha deve percorrer ao longo da teia para alcançar o infeliz inseto≠ (imagem abaixo)
a) 8 cm
b) 10 cm
c) 8√2 cm
d) 10 √3 cm

resposta:[B]

(Ufla-2007) Para que o sistema de equações

{2x - y + 5 = 0
þ
ÿx² + y - a = 0

admita apenas uma solução real, o valor de a deve ser
a) 2
b) -5
c) -2
d) 4

resposta:[D]

(Ufla-2007) Parte do líquido de um cilindro completamente cheio é transferido para dois cones idênticos, que ficam totalmente cheios. (imagem abaixo)
A relação entre as alturas do líquido restante no cilindro (h) e a altura (H) do cilindro é:
a) h = H/4
b) h = H/2
c) h = √(H/2)
d) h = H/3

resposta:[D]

(Ufla-2007) A figura é um esboço do gráfico da função y = 2^x . A ordenada do ponto P de abscissa (a + b)/2 é (imagem abaixo)
a) √(cd)
b) √(c + d)
c) cd
d) (cd)²

resposta:[A]

(Ufla-2007) Se i = √-1, assinale a alternativa incorreta.

a) (cos(x) + i sen(x))² = cos(2x) + i sen(2x)

b) (1 + i)/(1 - i) = - i

c) Como x³ + 1 = (x + 1) (x² - x + 1), as raízes de x³ + 1 = 0 são:
x = -1, x = (1/2) + [(√3)/2]i e x = (1/2) - [(√3)/2]i

d) Se um polinômio com coeficientes reais admite uma raiz complexa z, então w também é raiz (w indica o conjugado de z).

resposta:[B]