Questões de matemática

Origem: Ufrj

(Ufrj-1999) Dispomos de quatro urnas, cada uma contendo dez bolas numeradas de 0 a 9. Sorteando ao acaso uma bola de cada urna, formamos um número entre 0 e 9.999.
Lembrando que zero é múltiplo de qualquer número inteiro, determine a probabilidade de o número sorteado ser múltiplo de 8.

resposta:1/8

(Ufrj-1999) Durante o ano de 1997 uma empresa teve seu lucro diário L dado pela função

L(x) = 50 ( ¦ x - 100 ¦ + ¦ x - 200 ¦ )

onde x = 1, 2, ..., 365 corresponde a cada dia do ano e L é dado em reais.
Determine em que dias (x) do ano o lucro foi de R$10.000,00.

resposta:x = 50 e x = 250

(Ufrj-1999) O polígono regular representado na figura tem lado de medida igual a 1cm e o ângulo α mede 120°. (imagem abaixo)
a) Determine o raio da circunferência circunscrita.
b) Determine a área do polígono.

resposta:a) r = √(3/2)
b) A = 3 - √3

(Ufrj-1999) Considere os pontos

P (0, 0), P‚ (1, 1) e P3 (2, 6).

a) Determine a equação da parábola que passa por P, P‚ e P3 e tem eixo de simetria paralelo ao eixo Y das ordenadas;
b) Determine outra parábola que passe pelos pontos P, P‚ e P3.

resposta:a) y = 2x² - x
b) x = -2/15 y² + 17/15 y

(Ufrj-1999) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo.
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida: (imagem abaixo)
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.
Cada elemento a‹Œ nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (a‹Œ representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz).
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S).
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana≠
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio≠

Matriz

resposta:a) Cláudio
b) 2 chopes

(Ufrj-1999) Uma amostra de 100 caixas de pílulas anticoncepcionais fabricadas pela Nascebem S.A. foi enviada para a fiscalização sanitária.
No teste de qualidade, 60 foram aprovadas e 40 reprovadas, por conterem pílulas de farinha. No teste de quantidade, 74 foram aprovadas e 26 reprovadas, por conterem um número menor de pílulas que o especificado.
O resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas foram reprovadas em ambos os testes.
Quantas caixas foram aprovadas em ambos os testes≠

resposta:48

(Ufrj-1999) Na figura, o triângulo AEC é equilátero e ABCD é um quadrado de lado 2cm. (imagem abaixo)
Calcule a distância BE.

resposta:x = √6 - √2

(Ufrj-1999) Dois produtos P e P‚ são fabricados com os componentes A e B. P é composto de 20% de A e 80% de B, enquanto P‚ é composto por 10% de A e 90% de B.
A fábrica tem estocados 2 litros de A e 13 litros de B.
Quantos litros de P e de P‚ ela pode fabricar usando todo o seu estoque≠

resposta:Volume de P = 5 litros e volume de P‚ = 10 litros

(Ufrj-1999) Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez≠

resposta:3168 números

(Ufrj-1999) Seja a matriz A representada a seguir:

a) Determine A³ = A . A . A

Matriz

resposta:a) observe o esquema a seguir (imagem abaixo)
b) k = 2 ou k = 3

Matriz

(Ufrj-1999) Sejam A (1, 0) e B (5, 4√3) dois vértices de um triângulo equilátero ABC. O vértice C está no 2(0). quadrante.
Determine suas coordenadas.

resposta:C = (-3, 4√3)

(Ufrj-1999) Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36.
Ache a razão da progressão.

resposta:q = 10 ou q = -10

(Ufrj-1999) Encontre as raízes de

x³ + 15x² + 66x + 80 = 0,

sabendo que são reais e estão em progressão aritmética.

resposta:a = - 2, b = - 5 e c = - 8

(Ufrj-1999) Na figura a seguir, os círculos de centros O e O‚ são tangentes em B e têm raios 1 cm e 3 cm. (imagem abaixo)
Determine o comprimento da curva ABC.

resposta:5π(Pi)/3

(Ufrj-1999) Um campeonato de futebol foi disputado por 10 equipes em um único turno, de modo que cada time enfrentou cada um dos outros apenas uma vez.
O vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha ponto algum; em caso de empate, cada equipe ganha 1 ponto.
Ao final do campeonato, tivemos a seguinte pontuação:

Equipe 1 - 20 pontos
Equipe 2 - 10 pontos
Equipe 3 - 14 pontos
Equipe 4 - 9 pontos
Equipe 5 - 12 pontos
Equipe 6 - 17 pontos
Equipe 7 - 9 pontos
Equipe 8 - 13 pontos
Equipe 9 - 4 pontos
Equipe 10 - 10 pontos

Determine quantos jogos desse campeonato terminaram empatados.

resposta:17

(Ufrj-1998) O gráfico a seguir descreve o crescimento populacional de certo vilarejo desde 1910 até 1990. No eixo das ordenadas, a população é dada em milhares de habitantes. (imagem abaixo)
a) Determine em que década a população atingiu a marca de 5.000 habitantes.
b) Observe que a partir de 1960 o crescimento da população em cada década tem se mantido constante. Suponha que esta taxa se mantenha inalterada no futuro.
Determine em que década o vilarejo terá 20.000 habitantes.

resposta:a) Na década de 40 (entre 1940 e 1950).

b) 2040 < A < 2050

(Ufrj-1998) Determine um número inteiro cujo produto por 9 seja um número natural composto apenas pelo algarismo 1.

resposta:12345679

(Ufrj-1998) Um marceneiro cortou um cubo de madeira maciça pintado de azul em vários cubos menores da seguinte forma: dividiu cada aresta em dez partes iguais e traçou as linhas por onde serrou, conforme indica a figura a seguir. (imagem abaixo)
a) Determine o número de cubos menores que ficaram sem nenhuma face pintada de azul.
b) Se todos os cubos menores forem colocados em um saco, determine a probabilidade de se retirar, ao acaso, um cubo com pelo menos duas faces azuis.

resposta:a) 512
b) 10,4 %

(Ufrj-1998) Um fabricante está lançando a série de mesas "Super 4". Os tampos das mesas dessa série são retangulares e têm 4 metros de perímetro. A fórmica usada para revestir o tampo custa R$10,00 por metro quadrado. Cada metro de ripa usada para revestir as cabeceiras custa R$25,00 e as ripas para as outras duas laterais custam R$30,00 por metro. (imagem abaixo)
a) Determine o gasto do fabricante para revestir uma mesa dessa série com cabeceira de medida x.
b) Determine as dimensões da mesa da série "Super 4" para a qual o gasto com revestimento é o maior possível.

resposta:a) Gasto = 120 + 10x - 10x²
b) 1/2 m