Questões de matemática

Tópicos de Funções

(Unicamp-1994) a) Faça o gráfico da função y = (L)nx com domínio x > 0.
b) A partir desse gráfico, faça o gráfico de y = f(x) = (L)n (-x), com domínio x < 0.
c) Explique como a função y = g(x) = (L)n(1 - x) está relacionada com a função f e obtenha o gráfico de g a partir do gráfico de f.

resposta:a) e b) Observe os gráficos a seguir: (imagem abaixo)
c) Sendo f(x) = (L)n (-x) e g(x) = (L)n (1 - x), o gráfico de g está "deslocado" uma unidade para a direita em relação ao gráfico de f, como é mostrado na figura anterior.

(Ita-1995) Os dados experimentais da tabela a seguir correspondem às concentrações de uma substância química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, tem-se que a concentração (em moles) após 2,5 segundos é: (imagem abaixo)
a) 3,60
b) 3,65
c) 3,70
d) 3,75
e) 3,80

resposta:[D]

(Unesp-1995) Considere a função f: IR -> IR, definida por f(x) = 2x - 1. Determine todos os valores de m

IR para os quais é válida a igualdade:

f(m²) - 2f(m) + f(2m) = m/2.

resposta:m = 0 ou m = 1/4

(Unesp-1995) Um operário ganha R$3,00 por hora de trabalho de sua jornada semanal regular de trabalho, que é de 40 horas. Eventuais horas extras são pagas com um acréscimo de 50%. Encontre uma fórmula algébrica para expressar seu salário bruto semanal, S, para as semanas em que trabalhar h horas, com h≥40.

resposta:S = 4,50 h - 60,00

(Unesp-1995) Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg, recolhe-se a um SPA onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições:
a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá atingir após n semanas.
b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de lá com menos de 120 kg de peso.

resposta:a) P = 156 - 2,5n
b) O menor número inteiro será 15 semanas.

(Fuvest-1995) a) Esboce, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos de f(x) = 2^x e g(x) = 2x.
b) Baseado nos gráficos da parte a), resolva a inequação 2^x ≤ 2x.
c) Qual é o maior: 2 elevado a √2 ou 2 multiplicado por √2≠ Justifique brevemente sua resposta.

resposta:a) Observe a figura: (imagem abaixo)
b) {x

IR / 1 ≤ x ≤ 2}
c) 2√2 é o maior

(Unicamp-1995) Esboce os gráficos das funções y = e^x , y = e^x e y = e^x + e^x -3 em um mesmo sistema de eixos ortogonais. Mostre que a equação e^x + e^x -3 = 0 tem duas raízes reais simétricas x = a e x = -a. Mostre, ainda, que e³ò + e³ò = 18.

resposta:Observe os gráficos a seguir: (imagem abaixo)
A função f(x) = e^x + e^x - 3 é par, ou seja, f(x)=f(-x) para todo x

IR. Se existe um número real b tal que f(b) = 0, então f(-b) = 0. Observa-se no gráfico que tais números reais não nulos existem.
Logo eö + eö = 3.

Portanto,

e³ö + e³ö =
= (eö)³ + (eö)³ =
= (eö + eö)³ - 3(eö)²eö - 3eö(eö)² =
= (eö + eö)³ - 3eöeö(eö + eö) = 3³ - 3.1.3 = 18

(Unesp-1995) A poligonal ABCD da figura adiante é o gráfico de uma função f cujo domínio é o intervalo -1≤x≤7. Sabe-se que AB é paralelo a Cî e BC é paralelo ao eixo dos x. (imagem abaixo)
Nessas condições, f(7) - f(4, 5) é igual a:
a) 3/2.
b) 5/3.
c) 17/10.
d) 9/5.
e) 2.

resposta:[B]

(Unicamp-1995) Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-se a fórmula:

C = 5(F - 32)/9

onde F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus centígrados.
a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit.
b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus centígrados≠

resposta:a) F = 95
b) C = 160

(Unitau-1995) O domínio da função f(x) = √[(1 - ¦x - 1¦) / 2] é:
a) 0 ≤ × ≤ 2.
b) × ≥ 2.
c) × ≤ 0.
d) × < 0.
e) × > 0.

resposta:[A]

(Unitau-1995) Se x é uma solução de ¦2x - 1¦ < 5 - x, então:
a) 5 < x < 7.
b) 2 < x < 7.
c) - 5 < x < 7.
d) - 4 < x < 7.
e) - 4 < x < 2.

resposta:[E]

(Fuvest-1991) No estudo do Cálculo Diferencial e Integral, prova-se que a função cos x (co-seno do ângulo de x radianos) satisfaz a desigualdade:

f(x) = 1 - (x²/2) ≤ cos x ≤1 - (x²/2) + (x⁴/24) = g(x)

a) Resolva as equações f(x) = 0 e g(x) = 0.
b) Faça um esboço dos gráficos das funções f(x) e g(x).

resposta:a) f(x) = 0 √ V = { √2}
g(x) = 0 √ V = { √6 - 2√3, √6 + 2√3}

b) Observe os gráficos adiante:

(Unicamp-1991) Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos públicos considerando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas. Qual a estimativa do número de pessoas presentes numa praça de 4000m² que tenha ficado lotada para um comício, segundo essa avaliação≠

resposta:Observe a figura a seguir:

(Unicamp-1991) A Companhia de Abastecimento de Água de uma cidade cobra mensalmente, pela água fornecida a uma residência, de acordo com a seguinte tabela:
Pelos primeiros 12 m³ fornecidos, Cr$ 15,00 por m³; pelos 8 m³ seguintes, Cr$ 50,00 por m³; pelos 10 m³ seguintes, Cr$ 90,00 por m³ e, pelo consumo que ultrapassar 30 m³, Cr$ 100,00 o m³. Calcule o montante a ser pago por um consumo de 32 m³.

resposta:12 . 15 + 8 . 50 + 10 . 90 + 2 . 100 =
= 180 + 400 + 900 + 200 = 1680

Cr$ 1680,00

(Fuvest-1992) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é:
a) f(x) = x - 3
b) f(x) = 0,97x
c) f(x) = 1,3x
d) f(x) = -3x
e) f(x) = 1,03x

resposta:[B]

(Unicamp-1992) Sejam N o conjunto dos números naturais e f: N √ N uma função que satisfaz as propriedades:
a) dado qualquer m

N existe n

N tal que f(n) ≥ m.
b) Ar {s

N; s ≤ f(r)} está contido no conjunto imagem de f, para todo r

N.
Mostre que f é sobrejetora.

resposta:A função f:IN√IN é sobrejetora se, e somente se, Im(f)=IN.

Seja y

IN.

Pelo item a), dado y

IN, Existe i

IN / f(i)≥y.

Pelo item b), y

A‹ = {y

IN; y≤f(i)} e A‹ ⊂ Im(f), assim se y

A‹ ⊂ Im(f) então y

Im(f).

Portanto, ¯ y

IN, Existe x

IN / y = f(x), ou seja Im(f) = IN.

(Fuvest-1993) Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, podemos concluir que f(5) é igual a:
a) 1/2
b) 1
c) 5/2
d) 5
e) 10

resposta:[C]

(Unicamp-1993) Determine o número m de modo que o gráfico da função y = x² + mx + 8 - m seja tangente ao eixo dos x. Faça o gráfico da solução (ou das soluções) que você encontrar para o problema.

resposta:Observe a figura a seguir:

(Unesp-1993) Considerando-se o gráfico e a equação a seguir relacionados à decomposição de uma substância, onde, K é uma constante, t indica tempo (em minutos) e Q(t) indica a quantidade de substância, (em gramas) no instante t. Determine os valores de K e a.

resposta:K = 2 048
a = 4 mim