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Questões de matemática

Tópicos de Matemática (não classificadas)

(Fuvest-1994) Os números x e y são tais que 5 ≤ x ≤ 10 e 20 ≤ y ≤ 30. O maior valor possível de x/y é
a) 1/6
b) 1/4
c) 1/3
d) 1/2
e) 1

resposta:[D]



(Fuvest-1994) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal≠
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7

resposta:[E]



(Fuvest-1994) Sendo A = {2,3,5,6,9,13} e B = {a^a simbolo matemático de pertence A, b simbolo matemático de pertence A e a ≠ b}.O número de elementos de B que são números pares é:
a) 5
b) 8
c) 10
d) 12
e) 13

resposta:[C]



(Fuvest-1994) As três raízes de 9x³ - 31x - 10 = 0 são p, q e 2. O valor de p² + q² é:
a) 5/9
b) 10/9
c) 20/9
d) 26/9
e) 31/9

resposta:[D]



(Fuvest-1994) Uma mercadoria cujo preço de tabela é CR$ 8.000,00 é vendida, à vista, com desconto de x% ou em duas parcelas iguais de CR$ 4.000,00, sendo a primeira no ato da compra e a segunda um mês após a compra.
Suponha que o comprador dispõe do dinheiro necessário para pagar à vista e que ele sabe que a diferença entre o preço à vista e a primeira parcela pode ser aplicada no mercado financeiro a uma taxa de 25% ao mês. Nessas condições:
a) Se x = 15 será vantajosa para ele a compra a prazo≠ Explique.
b) Qual é o valor de x que torna indiferente comprar à vista ou a prazo≠ Explique.

resposta:a) Não. Pagando à vista, ele irá desembolsar (1 - 0,15) 8000 = $ 6.800. Logo terá 6800 - 4000 = $ 2800 para aplicar. E como (1 + 0,25) 2800 = $ 3500 < $ 4000, ele não poderá pagar a 2 prestação.

b) x = 10



(Fuvest-1994) É dada a função f definida por:
f(x) = log2x - log4(x-3)
a) Determine os valores de x para os quais f(x) ≤ 2.
b) Determine os valores de x para os quais f(x) > 2.

resposta:a) V = {x simbolo matemático de pertence IR ¦ 4 ≤ x ≤ 12}
b) V = {x ⊂ IR ¦ 3 < x < 4 ou x > 12}



(Unicamp-1994) Como se sabe, os icebergs são enormes blocos de gelo que se desprendem das geleiras polares e flutuam nos oceanos. Suponha que a parte não submersa de um iceberg corresponde a 8/9 de seu volume total e que o volume da parte submersa é de 135.000 m³.
a) Calcule o volume total do iceberg.
b) Calcule o volume de gelo puro do iceberg supondo que 2% de seu volume total é constituído de "impurezas", como matéria orgânica, ar e minerais.

resposta:a) V = 1.215.000 m³
b) V gelo puro = 1.190.700 m³



(Unesp-1994) Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma das extremidades. Se uma delas pavimentar 2/5 da estrada e a outra os 81 km restantes, a extensão dessa estrada é de:
a) 125 km.
b) 135 km.
c) 142 km.
d) 145 km.
e) 160 km.

resposta:[B]



(Unesp-1994) Sejam x e y dois números reais não nulos e distintos entre si. Das alternativas a seguir, a única necessariamente verdadeira é:
a) - x < y.
b) x < x + y.
c) y < xy.
d) x² ≠ y².
e) x² - 2xy + y² > 0.

resposta:[E]



(Unicamp-1994) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um destes tirou para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino também tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.

resposta:Havia inicialmente na caixa 40 bombons.



(Unicamp-1994) A divisão de um certo número inteiro positivo N por 1994 deixa resto 148. Calcule o resto da divisão de N+2000 pelo mesmo número 1994.

resposta:O resto é igual a 154.



(Unicamp-1994) Suponha que todos os preços venham subindo 30% ao mês nos últimos meses e continuem assim nos próximos meses. Calcule:
a) quanto custará, daqui a 60 dias, um objeto que hoje custa CR$ 27.300,00;
b) quanto custava esse mesmo objeto há um mês.

resposta:a) Cr$ 46.137,00
b) Cr$ 21.000,00



(Unicamp-1994) Os números a = 2121 e b = 136 estão escritos nos sistemas de numeração de bases 3 e 7, respectivamente.
a) Como se procede para descobrir qual desses números é o maior≠
b) Determine, então, o maior deles.

resposta:a) Para descobrir qual é o maior número, basta escrevê-los no mesmo sistema de numeração e depois compará-los.
b) O maior número é o b = 76.



(Unicamp-1994) Uma torneira enche um tanque em 12 minutos, enquanto uma segunda torneira gasta 18 minutos para encher o mesmo tanque. Com o tanque inicialmente vazio, abre-se a primeira torneira durante x minutos: ao fim desse tempo fecha-se essa torneira e abre-se a segunda, a qual termina de encher o tanque em x+3 minutos. Calcule o tempo gasto para encher o tanque.

resposta:15 min



(Unicamp-1994) Retiraram x litros de vinho de um barril de 100 litros e adicionam-se, ao mesmo barril, x litros de água. Da mistura resultante no barril, retiram-se outros x litros e adicionam-se outros x litros de água. Agora o barril contém 64 litros de vinho e 36 de água. Calcule o valor de x.

resposta:x = 20



(Unicamp-1994) Dada uma seqüência qualquer a(zero) . a1 . a2,..., an tem-se:

#(aŒ÷ - aŒ) = (a(zero) - a1) + (a1 - a‚) + ... + (an÷ -an) = a(zero) -an

No caso em que aŒ = j³, essa identidade assume a forma:

#[(j - 1)³ -j³] = 0³ -n³ = -n³

Use esta identidade para mostrar que:

#j² = 1² + 2² + ... + n² = (n³/3) + (n²/2) + (n/6)

resposta:# [(j - 1)³ - j³] = - n³ e
(j - 1)³ - j³ = -3j² + 3j - 1

Daí: # (-3j² + 3j - 1) = -n³

Assim sendo, para j = 1, 2, 3, 4, ... , n temos:

(-3.1²+3.1-1) + (-3.2²+3.2-1) + (-3.3²+3.3-1) + ...
... + (-3n²+3n-1) = -n³

-3(1²+2²+3²+...+n²) + 3(1+2+3+...+n) +
+ (-1-1-1... -1) = -n³

3(1²+2²+3²+...+n²)=n³+3(1+2+3+...+n)-n

3(1²+2²+3²+....+n²)=n³+ [3(1+n)n/2]-n

3(1²+2²+3²+...+n²)=n³+(3n²/2)+(3n/2)-n

3(1²+2²+3²+...+n²)=n³+(3n²/2)+(n/2)

1²+2²+3²+...+n²=(n³/3)+(n²/2)+(n/6)



(Unicamp-1994) a) Se a1 é um valor aproximado por excesso da raiz quadrada de um número inteiro N > 1, isto é, a1 > √N, mostre que N/a1 é valor aproximado por falta da mesma raiz, ou seja, N/a1 < √N.
b) Mostre que a média aritmética a‚ entre a1 e N/a1 também é uma aproximação de √N por excesso, isto é, a‚-√N > 0.
c) Mostre que a‚ é uma aproximação de √N melhor do que a1, isto é, √N < a‚ < a1. Mais do que isto, mostre que a‚-√N < (a1-√N)/2, vale dizer, o erro que se comete aproximando √N por a‚ é menor do que a metade do erro da aproximação anterior.

resposta:a) N/a1 = √N/a1 . √N < √N/a1 . a1 = √N, pois √N < a1 e portanto N/a1 < √N

b) (a1 - √N) / 2a1 > 0 Ì (a1 + N/a1)/2 - √N > 0
Ì a‚ - N > 0

c) 1) a‚ = (a1 + N/a1)/2 = (a1² + N)/2a1 < (a1² + a1²)/2a1² = a, e portanto a‚ < a1 como a‚ > √N tem-se √N < a‚ < a1

N/a1 < √N Ì a1 + N/a1 < a1 + √N
2a‚ < a1 + √N
2a‚ - 2√N < a1 - √N
a‚ - √N < a1 - √N/2



(Unicamp-1992) Um vendedor propõe a um comprador de um determinado produto as seguintes alternativas de pagamento:
a) Pagamento à vista com 65% de desconto sobre o preço da tabela.
b) Pagamento em 30 dias com desconto de 55% sobre o preço de tabela.
Qual das duas alternativas é mais vantajosa para o comprador, considerando-se que ele consegue, com uma aplicação de 30 dias, um rendimento de 25%≠

resposta:Condição A
P

{0,35 P pago
þ
ÿ0,65 P desconto √ 0,65P.1,25 = 0,8125 P

Condição B
1,25 P =

{0,45 P pago
þ
ÿ0,55 P desconto √ 1,25 P - 0,45 P = 0,80 P portanto a primeira alternativa é mais vantajosa.



(Fuvest-1995) Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por:
a) 1/125.
b) 1/8.
c) 8.
d) 12,5.
e) 80.

resposta:[E]







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