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Questões de matemática

Tópicos de Números Complexos

(Fuvest-1995) Sabendo que α é um número real e que a parte imaginária do número complexo (2 + i)/(α + 2i) é zero, então α é:
a) - 4.
b) - 2.
c) 1.
d) 2.
e) 4.

resposta:[E]



(Ita-1995) Seja z um número complexo satisfazendo Re(z) > 0 e (z + i)² + ¦z + i¦² = 6, onde z é o conjugado de z. Se n é o menor natural para o qual zn é um imaginário puro, então n é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

resposta:[B]



(Ita-1995) Sejam z e z‚ números complexos com ¦z¦ = ¦z‚¦ = 4. Se 1 é uma raiz da equação zz6 + z‚z³ - 8 = 0 então a soma das raízes reais é igual a:
a) - 1
b) - 1 + √2
c) 1 - ³√2
d) 1 + √3
e) - 1 + √3

resposta:[C]



(Unesp-1995) Seja L o afixo do número complexo a = √8 + i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b, de módulo igual a 1, cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LOM é reto.

resposta:b = (1 - i√8)/3



(Fuvest-1995) a) Determine os números complexos z tais que z + z = 4 e z . z = 13, onde z é o conjugado de z.
b) Resolva a equação x4 - 5x³ + 13x² - 19x + 10 = 0, sabendo que o número complexo z = 1 + 2i é uma das suas raízes.

resposta:a) z = 2 + 3i ou z = 2 - 3i
b) As raízes são: {1, 2, 1 + 2i e 1 - 2i}



(Unitau-1995) O módulo de z = 1/i³6 é:
a) 3.
b) 1.
c) 2.
d) 1/36.
e) 36.

resposta:[B]



(Unitau-1995) Determine o valor de k, de modo que z = [(1/2)k - (1/2)] + i seja imaginário puro:
a) -1/2.
b) -1.
c) 0.
d) 1/2.
e) 1.

resposta:[E]



(Unitau-1995) A expressão i1³+i1¦ é igual a:
a) 0
b) i.
c) - i.
d) - 2i.
e) 3i.

resposta:[A]



(Unesp-1991) Seja z ≠ 0 um número complexo tal que z4 é igual ao conjugado de z². Determinar o módulo e o argumento de z.

resposta:módulo = 1
argumento = &teta; simbolo matemático de pertence {0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°}



(Unesp-1991) Sendo n um número natural, provar que o número complexo -1/2 + (√3/2)i é raiz da equação algébrica x³n+² + x + 1 = 0

resposta:Demonstração:

x = -1/2 +√3/2i = cos 2π(Pi)/3 + i sen 2π(Pi)/3

n­² = cos [(3n+2).2π(Pi)/3] + i sen [(3n+2).2π(Pi)/3]=
= cos(4π(Pi)/3 + n2π(Pi)) + i sen (4π(Pi)/3 + n2π(Pi)) =
= - 1/2 - √3/2 i.

Logo: x³n­² + x + 1 =
= - 1/2 - √3/2 i - 1/2 + √3/2 i + 1 = 0

Portanto x = -1/2 +√3/2 i é raíz de x³n­²+x +1 = 0.



(Fuvest-gv-1991) Dentre todos os números complexos, z = ¦ z ¦ (cos&teta; + isen&teta;), 0 ≤ &teta; < 2π(Pi), que satisfazem a inequação ¦ z - 25i ¦ ≤ 15, determinar aquele que tem o menor argumento &teta;.

resposta:z = 12 + 16i



(Unesp-1992) Prove que o conjunto dos afixos dos números complexos pertencentes a {(2 + cos t) + i sen t ¦t simbolo matemático de pertence IR} onde i = √-1(unidade imaginária), é uma circunferência de raio 1, com centro no afixo do número 2.

resposta:Afixos (x;y) = (2 + cos t; sen t)

Para t simbolo matemático de pertence IR:
{x = 2 + cos t
ÿy = sen t Ì

{(x - 2)² = cos²t (A)
ÿy² = sen²t (B)

Somando-se (A) e (B), temos:

cos²t + sen²t = (x-2)² + y² Ì (x - 2)² + y² = 1



(Unesp-1993) Considere o número complexo u=(√3/2) + (1/2)i, onde i=√-1. Encontre o número complexo v cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento principal é o triplo do argumento principal de u.

resposta:v = 2i



(Cesgranrio-1995) O lugar geométrico das imagens dos complexos z, tais que z² é real, é:
a) um par de retas paralelas.
b) um par de retas concorrentes.
c) uma reta.
d) uma circunferência.
e) uma parábola.

resposta:[B]



(Fuvest-1996) Dado o número complexo z=√3+i qual é o menor valor do inteiro n ≥1 para o qual zn é um número real≠
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10

resposta:[C]



(Cesgranrio-1994) A figura mostra, no plano complexo, o círculo de centro na origem e raio 1, e as imagens de cinco números complexos. O complexo 1/z é igual a: (imagem abaixo)
a) z
b) w
c) r
d) s
e) t



resposta:[E]



(Fatec-1995) O conjugado do número complexo z = (1 - i­11 é igual a
a) 1 + i
b) 1 - i
c) (1/2) (1 - i)
d) (1/2) (1 + i)
e) i

resposta:[D]



(Fei-1994) Escrevendo o número complexo z = 1/(1 - i) + 1/(1 + i) na forma algébrica obtemos:
a) 1 - i
b) i - 1
c) 1 + i
d) i
e) 1

resposta:[E]



(Fei-1995) O módulo do número complexo (1 + i)­³ é:
a) √2
b) 1
c) -3
d) (√2)/4
e) 0

resposta:[D]







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