Questões de matemática

Origem: Ita

(Ita-1995) Seja a função f: R √ R definida por: (imagem abaixo)
onde a > 0 é uma constante. Considere K = {y

R; f(y) = 0}. Qual o valor de a, sabendo-se que f(π(Pi)/2)

K≠
a) π(Pi)/4
b) π(Pi)/2
c) π(Pi)
d) π(Pi)²/2
e) π(Pi)²

resposta:[D]

(Ita-1995) Uma vez que, para todo x ≥ 1 e n

N, vale a desigualdade xⁿ > n(x - 1), temos como conseqüência que, para 0 < x < 1 e n

N, tem-se:
a) xⁿ ¹ < [n(1 + x)]¹
b) xⁿ ¹ < [(n + 1)(1 + x)]¹
c) xⁿ ¹ < [n²(1 - x)]¹
d) xⁿ ¹ < [(n + 1)(1 - x)]¹
e) xⁿ ¹ < [n(1 - x)]¹

resposta:[E]

(Ita-1995) Considere todos os números de cinco algarismos formados pela justaposição de 1, 3, 5, 7 e 9 em qualquer ordem, sem repetição. A soma de todos esses números está entre:
a) 5 × 10⁶ e 6 × 10⁶
b) 6 × 10⁶ e 7 × 10⁶
c) 7 × 10⁶ e 8 × 10⁶
d) 9 × 10⁶ e 10 × 10⁶
e) 10 × 10⁶ e 11 × 10⁶

resposta:[B]

(Ita-1995) Para cada n

N temos que: (imagem abaixo)
é igual a:
a) (-1)ⁿ . 2²ⁿ
b) 2²ⁿ
c) (-1)ⁿ . 2ⁿ
d) (-1)ⁿ⁺¹ . 2²ⁿ
e) (-1)ⁿ⁺¹ . 2ⁿ

resposta:[A]

(Ita-1995) Se a soma dos termos da progressão geométrica dada por 0,3: 0,03: 0,003:... é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos da progressão aritmética vale:
a) 1/3
b) 2/3
c) 1
d) 2
e) 1/2

resposta:[C]

(Ita-1995) Os dados experimentais da tabela a seguir correspondem às concentrações de uma substância química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, tem-se que a concentração (em moles) após 2,5 segundos é: (imagem abaixo)
a) 3,60
b) 3,65
c) 3,70
d) 3,75
e) 3,80

resposta:[D]

(Ita-1995) A divisão de um polinômio P(x) por x² - x resulta no quociente 6x² + 5x + 3 e resto -7x. O resto da divisão de P(x) por 2x + 1 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

resposta:[E]

(Ita-1995) Sabendo-se que 4 + i√2 e √5 são raízes do polinômio 2x¦ - 22x⁴ + 74x³ + 2x² - 420x + 540, então a soma dos quadrados de todas as raízes reais é:
a) 17
b) 19
c) 21
d) 23
e) 25

resposta:[B]

(Ita-1995) Seja z um número complexo satisfazendo Re(z) > 0 e (z + i)² + ¦z + i¦² = 6, onde z é o conjugado de z. Se n é o menor natural para o qual zⁿ é um imaginário puro, então n é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

resposta:[B]

(Ita-1995) Sejam z e z‚ números complexos com ¦z¦ = ¦z‚¦ = 4. Se 1 é uma raiz da equação zz⁶ + z‚z³ - 8 = 0 então a soma das raízes reais é igual a:
a) - 1
b) - 1 + √2
c) 1 - ³√2
d) 1 + √3
e) - 1 + √3

resposta:[C]

(Ita-1995) Se S é o conjunto dos valores de a para os quais o sistema:

{x + y + z = 0
þx + (log3a)²y + z = 0
ÿ2x + 2y + [log3(27/a)]z = 0

é indeterminado, então:
a) S ⊂ [-3, 3]
b) S é vazio
c) S ⊂ [2, 4]
d) S ⊂ [1, 3]
e) S ⊂ [0, 1]

resposta:[A]

(Ita-1995) Se x é um número real positivo, com x ≠ 1 e x ≠ 1/3, satisfazendo:

(2 + log3x) / (logÖø‚x) - (logÖ(x + 2)) / (1 + log3x) = logÖ(x + 2)

então x pertence ao intervalo I, onde:
a) I = (0, 1/9)
b) I = (0, 1/3)
c) I = (1/2, 1)
d) I = (1, 3/2)
e) I = (3/2, 2)

resposta:[B]

(Ita-1995) Dizemos que duas matrizes n x n A e B são semelhantes se existe uma matriz n x n inversível P tal que B = P¹ AP. Se A e B são matrizes semelhantes quaisquer, então:
a) B é sempre inversível.
b) se A é simétrica, então B também é simétrica.
c) B² é semelhante a A.
d) se C é semelhante a A, então BC é semelhante a A².
e) det(—I - B) = det(—I - A), onde — é um real qualquer.

resposta:[E]

(Ita-1995) Sejam A e B matrizes reais 3 × 3. Se tr(A) denota a soma dos elementos da diagonal principal de A, considere as afirmações:

[(I)] tr(A ) = tr(A)
[(II)] Se A é inversível, então tr(A) ≠ 0.
[(III)] tr(A + —B) = tr(A) + —tr(B), para todo —

R.

Temos que:
a) todas as afirmações são verdadeiras.
b) todas as afirmações são falsas.
c) apenas a afirmação (I) é verdadeira.
d) apenas a afirmação (II) é falsa.
e) apenas a afirmação (III) é falsa.

resposta:[D]

(Ita-1995) Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com b > 0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por:
a) (- b, - b)
b) b) (2b, - b)
c) (4b, - 2b)
d) (3b, - 2b)
e) (2b, - 2b)

resposta:[C]

(Ita-1995) Uma reta t do plano cartesiano xOy tem coeficiente angular 2a e tangencia a parábola y = x² - 1 no ponto de coordenadas (a, b). Se (c, 0) e (0, d) são as coordenadas de dois pontos de t tais que c > 0 e c = -2d, então a/b é igual a:
a) - 4/15
b) - 5/16
c) - 3/16
d) - 6/15
e) - 7/15

resposta:[A]

(Ita-1995) Considere C uma circunferência centrada em O e raio 2r, e t a reta tangente a C num ponto T. Considere também A um ponto de C tal que o ângulo AOT = &teta; é um ângulo agudo. Sendo B o ponto de t tal que o segmento AB é paralelo ao segmento OT, então a área do trapézio OABT é igual a
a) r²(2 cos&teta; - cos 2&teta;)
b) 2r²(4 cos&teta; - sen 2&teta;)
c) r²(4 sen&teta; - sen 2&teta;)
d) r²(2 sen&teta; + cos&teta;)
e) 2r²(2 sen 2&teta; - cos 2&teta;)

resposta:[C]

(Ita-1995) A expressão sen &teta;/(1 + cos&teta;), 0 < &teta; < π(Pi), é idêntica a:
a) sec (&teta;/2)
b) cosec (&teta;/2)
c) cotg (&teta;/2)
d) tg (&teta;/2)
e) cos (&teta;/2)

resposta:[D]

(Ita-1995) Um dispositivo colocado no solo a uma distância d de uma torre dispara dois projéteis em trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um ângulo &teta;

(0, π(Pi)/4), atinge a torre a uma altura h. Se o segundo, disparado sob um ângulo 2&teta;, atinge-a a uma altura H, a relação entre as duas alturas será:
a) H = 2hd²/(d² - h²)
b) H = 2hd²/(d² + h)
c) H = 2hd²/(d² - h)
d) H = 2hd²/(d² + h²)
e) H = hd²/(d² + h)

resposta:[A]