Questões de matemática

Tópicos de Polinômios

(Ita-1995) A divisão de um polinômio P(x) por x² - x resulta no quociente 6x² + 5x + 3 e resto -7x. O resto da divisão de P(x) por 2x + 1 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

resposta:[E]

(Unesp-1995) Se m é raiz do polinômio real p(x) = x⁶ - (m + 1)x¦ + 32, determine o resto da divisão de p(x) por x - 1.

resposta:30

(Fuvest-1995) a) Quais são as raízes inteiras do polinômio p(x) = x³ - x² - 4≠
b) Decomponha o polinômio p(x) em um produto de dois polinômios, um de grau 1 e outro de grau 2.
c) Resolva a inequação p(x) < 4(x - 2).

resposta:a) a raiz inteira é 2
b) p(x) = (x - 2)(x²+x+2)
c) {x

IR / x < -2 ou 1 < x < 2}

(Unesp-1994) Considere um polinômio da forma f(x) = x³ + (cos &teta;)x.
Sendo i = √-1 a unidade imaginária, demonstre que f(x) é divisível por x - i (sobre o corpo dos complexos) se, e somente se, &teta; = 2kπ(Pi) (k

Z).

resposta:Se f(x) = x³ + (cos&teta;).x é divisível por x-i, então f(i)=0, logo:
i³ + (cos&teta;).i = 0 Ì (-i) + (cos&teta;).i = 0 Ì cos&teta; = 1 Ì &teta; = n.2π(Pi) (K

(Unitau-1995) O valor de b para o qual o polinômio P(x) = 15x¹⁶ + bx¹¦ + 1 é divisível por x - 1 é:
a) -16.
b) 16.
c) 15.
d) 32.
e) 64.

resposta:[A]

(Unitau-1995) Sabe-se que 1, 2 e 3 são raízes de um polinômio do terceiro grau P(x) e que P(0) = 1, logo, P(10) vale:
a) 48.
b) 24.
c) - 84.
d) 104.
e) 34.

resposta:[C]

(Fuvest-1991) Considere um polinômio não nulo p(x) tal que (p (x))³ = x² p(x) = xp(x²) para todo x real.
a) Qual é o grau de p(x)≠
b) Determine p(x).

resposta:a) 1° grau
b) p(x) = x ou p(x) = -x

(Fuvest-1992) Sejam R e R‚ os restos das divisões de um polinômio P(x) por x-1 e por x+1, respectivamente. Nessas condições, se R(x) é o resto da divisão de P(x) por x²-1 então R(0) é igual a:
a) R - R‚
b) (R + R‚)/RR‚
c) R + R‚
d) RR‚
e) (R + R‚)/2

resposta:[E]

(Fuvest-1992) Considere o polinômio não nulo
P(x)=a(zero)+a1x+a‚x²+...+a_nxⁿ onde a(zero), a1, a2,...,a_n estão em progressão geométrica de razão q≠0.
a) Calcule P(1/q).
b) Mostre que, para n par, o polinômio P(x) não tem raiz real.

resposta:Se a(zero), a1, ... , a_n estão em PG de razão q ≠ 0, temos:
P(x) = a(zero) + a(zero)qx + a(zero)q²x² + ... + a(zero)qⁿxⁿ =
= a(zero)[1 + qx + (qx)² + ... + (qx)ⁿ] (A)

a) P(1/q) = a(zero)[1+q .1/q + (q .1/q)² +...+ (q .1/q)ⁿ]=
= a(zero)(1 + 1 + 1² + ... + 1ⁿ) = a(zero)(n + 1).

b) De (A) e a) P(x) é reescrito:

{P(x) = a(zero) . [(qx)ⁿ⁺¹ - 1]/(qx - 1) se x ≠ 1/q
þ
ÿP(x) = a(zero)(n + 1) se x = 1/q

Como a(zero) ≠ 0, P(X) = 0 Ì
{((qx)ⁿ⁺¹ = 1
þ
ÿqx ≠ 1

Se q é um número real, o sistema é satisfeito se, e somente se, qx = -1 e ((qx)ⁿ⁺¹ = 1. Estas equações mostram que n não pode ser par.

(Fuvest-1993) Sabendo-se que p(x) é um polinômio, a é uma constante real e p(x) = x³ - 3x² + 2x + (a cos x)/(2 + x²) é uma identidade em x, determine:
a) o valor da constante a. Justifique.
b) as raízes da equação p(x) = 0.

resposta:a) a = 0
b) V = {0, 1, 2}

(Fuvest-1996) Seja p(x) um polinômio divisível por x-3. Dividindo p(x) por x-1 obtemos quociente q(x) e resto r=10. O resto da divisão de q(x) por x-3 é:
a) - 5
b) - 3
c) 0
d) 3
e) 5

resposta:[A]

(Fuvest-1996) Seja p(x) = x⁴+ bx³+ cx²+ dx + e, um polinômio com coeficientes inteiros. Sabe-se que as quatro raízes de p(x) são inteiras e que três delas são pares e uma é impar. Quantos coeficientes pares têm o polinômio p(x)≠
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

resposta:[D]

(Cesgranrio-1994) O resto da divisão do polinômio P(x) = (x² + 1)² pelo polinômio D(x) = (x - 1)² é igual a:
a) 2
b) 4
c) 2x - 1
d) 4x - 2
e) 8x - 4

resposta:[E]

(Fatec-1995) Os restos da divisão de um polinômio p por (x-1) e por (x+2) são respectivamente, 1 e -23. O resto da divisão de p por (x-1)(x+2) é
a) - 23
b) - 22x
c) x - 2
d) 3x + 1
e) 8x - 7

resposta:[E]

(Fei-1994) Se na divisão do polinômio P(x) = x³ + 5x - 4 pelo polinômio Q(x) obtém-se um quociente x e um resto R(x) que é divisível por x - 1, então R(x) vale:
a) (x -1)
b) 2 (x -1)
c) 3 (x -1)
d) 4 (x -1)
e) 5 (x -1)

resposta:[D]

(Ufpe-1996) Na figura a seguir, temos um esboço de parte do gráfico de uma função polinomial (imagem abaixo)
Analise as seguintes afirmativas:
( ) O grau do polinômio p(x) é ≤ 6.
( ) O grau do polinômio p(x) é ≥ 7.
( ) A equação p(x) = 0 não possui raízes reais.
( ) O polinômio p(x) é divisível por x(x + 2)(x - 2).
( ) O polinômio p(x) é divisível por (x² - 1)(x - 3)(x - 4).

resposta:F V F V V

(Unicamp-1996) Seja (imagem abaixo)
a) Mostre que x = 2 é uma raiz do polinômio p(x).
b) Mostre que as outras duas raízes de p(x) também são reais.
c) Quais as condições sobre a, b, c e d para que p(x) tenha uma raiz dupla, x ≠ 2≠

resposta:Observe a figura a seguir: (imagem abaixo)
= (2-x) . [(a-x).(d-x) - b²]
2 é raíz de p(x)

As outras raízes de (a-x).(d-x) - b² = 0Ì
Ì x² - (a + d)x + ad - b² = 0. O discriminante desta equação é Δ = (a + d)² - 4(ad - b²) =
= a² - 2ad + d² + 4b² = (a - d)² + 4b².

Mas (a - d)² + 4b² ≥ 0 para todos os valores de a, b e d do conjunto dos números reais.
Assim a equação (a-x).(d-x)-b²=0 admite 2 raízes reais.

c) a = d ≠ 2, b = 0 e ¯c

(Uel-1994) O polinômio x³ - x² - 14x + 24 é divisível por
a) x - 1 e x + 3
b) x - 2 e x + 5
c) x - 2 e x + 4
d) x - 3 e x + 2
e) x + 5 e x - 3

resposta:[C]

(Uel-1994) A equação 2x³ - 5x² + x + 2 = 0 tem três raízes reais. Uma delas é 1. As outras duas são tais que
a) ambas são números inteiros.
b) ambas são números negativos.
c) estão compreendidas entre -1 e 1.
d) uma é o oposto do inverso da outra.
e) uma é a terça parte da outra.

resposta:[D]