Questões de matemática

Tópicos de Trigonometria

(Fuvest-1994) a) Calcule sen15°.
b) Calcule a área do polígono regular de 24 lados inscrito no círculo de raio 1.

resposta:a) sen 15° = (√6-√2)/4
b) A = 3 (√6 - √2) U. de área.

(Unesp-1994) Do quadrilátero ABCD da figura a seguir, sabe-se que: os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45° e 30°; o lado CD mede 2 dm.
Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm: (imagem abaixo)
a) √6 e √3.
b) √5 e √3.
c) √6 e √2.
d) √6 e √5.
e) √3 e √5.

resposta:[C]

(Unicamp-1994) a) Utilize a fórmula sen²α+cos²α=1 e a fórmula do cosseno da soma de dois ângulos para deduzir as seguintes fórmulas do arco metade: (imagem abaixo)
b) Especifique os intervalos de variação de α nos quais se deve usar o sinal "mais" e nos quais se deve usar o sinal "menos" em cada uma das fórmulas acima.

resposta:a) Como cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b
e
2a = a + a
temos:
cos (a + a) = cos a cos a - sen a sen a Ì
cos (2a) = cos² a - sen² a (I)

Tomando sen² (α/2) + cos² (α/2) = 1, vem:
{sen² (α/2) = 1 - cos² (α/2) (II)
þ
ÿcos² (α/2) = 1 - sen² (α/2) (III)

Fazendo a = α/2 e substituindo (II) e (III) em (I), encontramos:
{sen (α/2) = √[(1 - cosα)/2]
þ
ÿcos (α/2) = √[(1 + cosα)/2]

b) sen (α/2) tem sinal positivo quando:
0 + 2kπ(Pi) < (α/2) < π(Pi) + 2kπ(Pi), k

Z Ì
4kπ(Pi) < α < (4k + 2)π(Pi), k

Z.

sen (α/2) tem sinal negativo quando:
π(Pi) + 2kπ(Pi) < (α/2) < 2π(Pi) + 2kπ(Pi), k

Z Ì
(4k - 2)π(Pi) < α < (4k + 4)π(Pi), k

Z.

cos (α/2) tem sinal positivo quando:
- (π(Pi)/2) + 2kπ(Pi) < (α/2) < π(Pi)/2 + 2kπ(Pi), k

Z Ì
(4k - 1)π(Pi) < α < (4k + 1)π(Pi), k

Z.

cos (α/2) tem sinal negativo quando:
(π(Pi)/2) + 2kπ(Pi) < (α/2) < (3π(Pi)/2) + 2kπ(Pi), k

Z Ì
(4k + 1)π(Pi) < α < (4k + 3)π(Pi), k

(Fuvest-1995) Dentre os números a seguir, o mais próximo de sen50° é:
a) 0,2.
b) 0,4.
c) 0,6.
d) 0,8.
e) 1,0.

resposta:[D]

(Fuvest-1995) O menor valor de 1/ (3-cos x), com x real, é:
a) 1/6.
b) 1/4.
c) 1/2.
d) 1.
e) 3.

resposta:[B]

(Fuvest-1995) Considere um arco AB de 110° numa circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco A B de 60° numa circunferência de raio 5 cm.
Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco A B (ambos medidos em cm), obtém-se:
a) 11/6.
b) 2.
c) 11/3.
d) 22/3.
e) 11.

resposta:[C]

(Ita-1995) Seja a função f: R √ R definida por: (imagem abaixo)
onde a > 0 é uma constante. Considere K = {y

R; f(y) = 0}. Qual o valor de a, sabendo-se que f(π(Pi)/2)

K≠
a) π(Pi)/4
b) π(Pi)/2
c) π(Pi)
d) π(Pi)²/2
e) π(Pi)²

resposta:[D]

(Ita-1995) A expressão sen &teta;/(1 + cos&teta;), 0 < &teta; < π(Pi), é idêntica a:
a) sec (&teta;/2)
b) cosec (&teta;/2)
c) cotg (&teta;/2)
d) tg (&teta;/2)
e) cos (&teta;/2)

resposta:[D]

(Ita-1995) Um dispositivo colocado no solo a uma distância d de uma torre dispara dois projéteis em trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um ângulo &teta;

(0, π(Pi)/4), atinge a torre a uma altura h. Se o segundo, disparado sob um ângulo 2&teta;, atinge-a a uma altura H, a relação entre as duas alturas será:
a) H = 2hd²/(d² - h²)
b) H = 2hd²/(d² + h)
c) H = 2hd²/(d² - h)
d) H = 2hd²/(d² + h²)
e) H = hd²/(d² + h)

resposta:[A]

(Pucsp-1995) Um possível valor de x, que satisfaz a equação: (imagem abaixo)
a) π(Pi)/3.
b) π(Pi)/4.
c) π(Pi)/6.
d) π(Pi)/8.
e) π(Pi)/12.

resposta:[E]

(Unesp-1995) a) Demonstre a identidade:

(√2) . sen [x - (π(Pi)/4)] = sen x - cos x.

b) Determine os valores de m

R para os quais a equação:

(√2)(sen x - cos x) = m² - 2 admite soluções.

resposta:a) (√2) sen [x - (π(Pi)/4)] =
(√2) [sen x cos (π(Pi)/4) - sen (π(Pi)/4) cos x] =
(√2) {[(√2)/2] sen x - [(√2)/2] cos x} =
sen x - cos x

b) -2 ≤ m ≤ 2

(Unesp-1995) Determine todos os valores de x, 0 ≤ x ≤ 2π(Pi), para os quais se verifica a igualdade (senx + cosx)² = 1.

resposta:V = {0, π(Pi)/2, π(Pi), 3π(Pi)/2, 2π(Pi)}

(Fuvest-1995) Considere a função f(x) = senx + sen5x.
a) Determine as constantes k, m e n tais que f(x) = k . sen(mx) . cos(nx)
b) Determine os valores de x, 0 ≤ x ≤ π(Pi), tais que f(x) = 0.

resposta:a) (k,m,n)

{(2,3,-2); (2,3,2); (-2,-3,-2); (-2,-3, 2)}
b) {0, π(Pi)/4, π(Pi)/3, 2π(Pi)/3, 3π(Pi)/4 e π(Pi)}

(Unicamp-1995) Encontre todas as soluções do sistema:

{sen (x+y) =0
þ
ÿsen (x-y) =0

que satisfaçam 0 ≤ x ≤ π(Pi) e 0 ≤ y ≤ π(Pi).

resposta:V = { (0, 0), (0, π(Pi)), (π(Pi), 0), (π(Pi), π(Pi)), (π(Pi)/2, π(Pi)/2) }

(Unitau-1995) Se sen(a - 30°) = m, então cos(60° + a) é igual a:
a) 2 m.
b) 1 m.
c) - 1 m.
d) - 2 m.
e) 3 m.

resposta:[C]

(Unitau-1995) Indique a função trigonométrica f(x) de domínio R; Im = [-1, 1] e período π(Pi) que é representada, aproximadamente, pelo gráfico a seguir: (imagem abaixo)
a) y = 1 + cos x.
b) y = 1 - sen x.
c) y = sen (-2x).
d) y = cos (-2x).
e) y = - cos x.

resposta:[C]

(Unitau-1995) O período da função y=sen(π(Pi)√2.x) é:
a) √2/2.
b) √π(Pi)/2.
c) π(Pi)/2.
d) √2.
e) 2√2.

resposta:[D]

(Fuvest-1990) Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O co-seno do maior ângulo de T é:
a) 5/6.
b) 4/5.
c) 3/4.
d) 2/3.
e) 1/8.

resposta:[E]

(Fuvest-1991) A equação f(x) = -10 tem solução real se f(x) é:
a) 2^x
b) log(zero)(¦ x ¦ + 1)
c) sen x
d) tg x
e) x² + 2x - 4

resposta:[D]