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Questões de matemática

Tópicos de Geometria Analítica

(Unesp-1991) Seja AB o diâmetro da circunferência x² + y² - 6x - 8y + 24 = 0 contido na reta perpendicular a y = x + 7. Calcular as coordenadas de A e B.

resposta:(3 + √2/2; 4 - √2/2) e (3 - √2/2; 4 + √2/2)



(Fuvest-gv-1991) Um polígono do plano é determinado pelas inequações x ≥ 0, y ≥ 0, 5x + 2y ≤ 20 e x + y ≤ 7. Seus vértices são:
a) (0, 0), (4, 0), (0, 7) e (2 ,5)
b) (0, 0), (4, 0) e (0, 7)
c) (0, 0), (7,0) e (2 ,5)
d) (0, 0), (7,0), (2 ,5) e (0, 10)
e) (4, 0), (7, 0), (0, 10) e (0, 7)

resposta:[A]



(Fuvest-gv-1991) a) Dar uma equação da bissetriz do ângulo agudo entre a reta de equação 4x - 3y = 4 e o eixo dos x;
b) Determinar a circunferência inscrita no triângulo de vértices (1, 0), (4, 0) e (4, 4).

resposta:a) x - 2y - 1 = 0
b) (x - 3) + (y - 1)² = 1



(Fuvest-1992) Seja S a região do plano cartesiano representada pelo triângulo ABC e seu interior. Determine um sistema de inequações que caracterize os pontos (x, y) pertencentes a S.



resposta:{ 3x + 2y + 4 ≥ 0
þ 3x - 2y - 4 ≤ 0
ÿ y ≤ 1



(Unicamp-1992) Calcule a e b positivos na equação da reta ax + by = 6 de modo que ela passe pelo ponto (3, 1) e forme com os eixos coordenados um triângulo de área igual 6.

resposta:a = 1 e b = 3



(Unicamp-1992) Dados três pontos a, b e c em uma reta, como indica a figura seguinte determine o ponto x da reta, tal que a soma das distâncias de x até a, de x até b e de x até c seja a menor possível. Explique seu raciocínio.



resposta:O ponto x coincide com o ponto b.



(Unesp-1992) Determinar os pontos de abscissa 2 tais que, para cada um deles, o produto de suas distâncias aos eixos coordenados é igual ao quadrado de sua distância à reta y = x.

resposta:( 2; 4 - 2√3) e ( 2; 4 + 2√3)



(Unesp-1992) Seja r uma reta pelo ponto (0,-2). Por dois pontos do eixo das abscissas, distantes entre si uma unidade, traçam-se perpendiculares a esse eixo. Se estas perpendiculares interceptam r em dois pontos do primeiro quadrante cuja distância é √10 unidades, estabelecer a equação de r.

resposta:y = 3x - 2



(Fuvest-1993) Determine as equações das retas do plano que passam pela origem do sistema de coordenadas e que não interceptam a curva do plano dada pela equação x²/4 - y²/9 = 1

resposta:y = mx, ¦ m ¦ ≥ 3/2 ou x = 0



(Unicamp-1993) Dada uma elipse de semi-eixos a e b, calcule, em termos destes parâmetros, a área do quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos eixos da elipse.

resposta:A = 4 (a².b²)/(a²+b²)



(Unesp-1993) Considere uma circunferência de raio r < 4, com centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Se uma das tangentes à circunferência pelo ponto (4, 0) forma com o eixo x um ângulo de 30°, então o ponto de tangência correspondente é:
a) (1, - √3)
b) (1, - √2)
c) (1/2, - √3)
d) (1/2, - √2)
e) (1/2, - √3/2)

resposta:[A]



(Unesp-1993) Seja r uma reta pelo ponto (√3, -1). Indiquemos por A e B, respectivamente, os pontos em que r corta os eixos x e y. Seja, ainda, C o simétrico de B em relação à origem. Se o triângulo ABC é eqüilátero, determine a equação de r.

resposta:y = (√3/3)x - 2



(Fuvest-gv-1991) A circunferência x² + y² = 4 é simétrica à circunferência x² + y² - 12x - 8y + 48 = 0 em relação a uma reta r. Uma equação dessa reta é:
a) 3x - 2y = 13
b) 3x - 2y = 5
c) 2x - 3y = 0
d) 3x + 2y = 13
e) 3x + 2y = 5

resposta:[D]



(Cesgranrio-1995) A equação da reta mostrada na figura a seguir é: (imagem abaixo)
a) 3x + 4y - 12 = 0
b) 3x - 4y + 12 = 0
c) 4x + 3y + 12 = 0
d) 4x - 3y - 12 = 0
e) 4x - 3y + 12 = 0



resposta:[B]



(Cesgranrio-1995) A área do triângulo, cujos vértices são (1, 2), (3, 4) e (4, -1), é igual a:
a) 6.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 12.

resposta:[A]



(Fuvest-1996) Considere o triângulo ABC, onde A = (0, 4), B = (2, 3) e C é um ponto qualquer da circunferência x² + y² = 5. A abcissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC a menor possível é:
a) - 1
b) - 3/4
c) 1
d) 3/4
e) 2

resposta:[C]



(Fuvest-1996) Para cada número real n seja Pn=(xnyn) o ponto de intersecção das retas nx + y = 1 e x - ny = 1. Sabendo-se que todos os pontos Pn pertencem a uma mesma circunferência, qual é o centro dessa circunferência≠
a) (1/2, 1/2)
b) (0,0)
c) (-1/2, 1/2)
d) (-1/2, -1/2)
e) (1,1)

resposta:[A]



(Fuvest-1996) Considere, no plano cartesiano, os pontos P = (0, -5) e Q = (0, 5). Seja X = (x, y) um ponto qualquer com x > 0.
a) Quais são os coeficientes angulares das retas PX e QX≠
b) Calcule, em função de x e y, a tangente do ângulo PXQ.
c) Descreva o lugar geométrico dos pontos X = (x, y) tais que x > 0 e PXQ = (π(Pi)/4) radianos.

resposta:a) O coeficiente angular da reta PX é igual a (y+5)/x e o c.a. da reta QX é igual a (y-5)/x.

b) Consideremos tg do ângulo PXQ = œ
1) se œ = π(Pi)/2; não existe Tg œ
2) Tg œ = 10x/(x²+y²-25)

c) Graficamente é o arco da circunferência de centro (5, 0) e raio 5√2 contido no semiplano x>0.



(Cesgranrio-1994) O ponto Q é o simétrico do ponto P(x, y) em relação ao eixo dos y. O ponto R é o simétrico do ponto Q em relação à reta y = 1. As coordenadas de R são:
a) (x, 1 - y)
b) (0, 1)
c) (-x, 1 - y)
d) (-x, 2 - y)
e) (y, - x)

resposta:[D]







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