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Questões de matemática

Tópicos de Geometria Espacial

(Unitau-1995) Indique quantas faces possuem, respectivamente, nessa ordem, os sólidos numerados como I, II, III e IV a seguir: (imagem abaixo)
a) 8, 6, 5, 6.
b) 8, 6, 6, 5.
c) 8, 5, 6, 6.
d) 5, 8, 6, 6.
e) 6, 18, 6, 5.

Poliedros e Superfície Poliédrica

resposta:[A]



(Unitau-1995) A soma S das áreas das faces de um tetraedro regular em função de sua aresta é:
a) a².
b) √3 a².
c) 4 a².
d) √5 a².
e) √2 a².

resposta:[B]



(Unitau-1995) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale.
a) 6.
b) 4.
c) 5.
d) 12.
e) 9.

resposta:[B]



(Fuvest-1990) Os segmentos VA, VB e VC são arestas de um cubo. Um plano α, paralelo ao plano ABC, divide esse cubo em duas partes iguais. A intersecção do plano α com o cubo é um:
a) triângulo.
b) quadrado.
c) retângulo.
d) pentágono.
e) hexágono.

resposta:[E]



(Fuvest-1990) Um pedaço de cartolina possui a forma de um semi-círculo de raio 20 cm. Com essa cartolina um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa.
Qual a distância do bico do chapéu à mesa≠
a) 10√3 cm.
b) 3√10 cm.
c) 20√2 cm.
d) 20 cm.
e) 10 cm.

resposta:[A]



(Fuvest-1991) A uma caixa d água de forma cúbica com 1 metro de lado, está acoplado um cano cilíndrico com 4cm de diâmetro e 50m de comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio.
Solta-se a água pelo cano até que fique cheio. Qual o valor aproximado da altura da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio≠
a) 90 cm.
b) 92 cm.
c) 94 cm.
d) 96 cm.
e) 98 cm.

resposta:[C]



(Fuvest-1991) Dada uma circunferência de diâmetro AB, levanta-se por A um segmento Aî perpendicular ao plano da circunferência e une-se D a um ponto C qualquer da circunferência, C distinto de B.
a) Prove que as retas BC e DC são perpendiculares.
b) Sabendo que AB = AD = 8 e que C é o ponto médio do arco AB, determine a medida do ângulo CDB.

resposta:a) Hip:
Aî _¦_ AB

C ≠ B

Tese:
BC _¦_ îC

Demonstração:

Seja α o plano determinado por AB e pelo ponto C.

Seja β o plano determinado por Aî e pelo ponto C.

Δ ABC é retângulo, com ângulo reto no ponto C

AC _¦_ BC √ BC _¦_ β √ BC _¦_ îC AC simbolo matemático de pertence β

Caso C = A, então BC = AB e îC = îA, como Aî _¦_ AB então BC _¦_ îC


b) &teta; = 30°



(Fuvest-1991) Considere um triângulo retângulo com hipotenusa A e catetos B e C.
Sejam VÛ, V½, V{ os volumes dos sólidos gerados pela rotação do triângulo em torno dos lados A, B e C, respectivamente.
a) Calcule VÛ, V½, V{ em função das medidas de A, B e C.
b) Escreva a VÛ em função de B, C, V½ e V{.

resposta:a) VÛ = π(Pi) B²C²/3A
V½ = π(Pi) C²B/3
V{ = π(Pi) B²C/3

b) VÛ = 3V½ . V{ √B² + C² / π(Pi) . B . C (B² + C²)



(Unicamp-1991) É comum encontrarmos mesas com 4 pernas que, mesmo apoiadas em um piso plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas se a quisermos firme. Explique usando argumentos de geometria, por que isso não acontece com uma mesa de 3 pernas.

resposta:Mesas com três pernas não balançam pois três pontos não colineares determinam um único plano (Postulado da Determinação de Plano).



(Unicamp-1991) Uma esfera de raio 1 é apoiada no plano xy de modo que seu pólo sul toque a origem desse plano. Tomando a reta que liga o pólo norte dessa esfera a qualquer outro ponto da esfera, chamamos de "projeção estereográfica" desse outro ponto ao ponto em que a reta toca o plano xy. Identifique a projeção estereográfica dos pontos que formam o hemisfério sul da esfera.

resposta:Círculo de Raio = 2, com centro na origem do plano.



(Unesp-1991) No trapézio ABCD da figura a seguir, os ângulos internos em A e B são retos, e o ângulo interno em D é tal que sua tangente vale 5/6. Se Aî = 2 . AB, o volume do sólido obtido ao se girar o trapézio em torno da reta por B e C é dado por:
a) (3/4) π(Pi)a³
b) (5/8) π(Pi)a³
c) (6/5) π(Pi)a³
d) (20/13) π(Pi)a³
e) (8/5) π(Pi)a³



resposta:[E]



(Unesp-1991) Sejam α e β planos perpendiculares, α º β = r.
Em α considera-se uma reta s perpendicular a r, s º r = {A}, e em β considera-se t oblíqua a r, t º r = {A}. Dentre as afirmações:

I. s é perpendicular a β.
II. t é perpendicular a s.
III. O plano determinado por s e t é perpendicular a β.
IIII. Todo plano perpendicular a s e que não contém A é paralelo a β.

pode-se garantir que:
a) somente I é falsa.
b) somente II é falsa.
c) somente III é falsa.
d) somente IV é falsa.
e) nenhuma é falsa.

resposta:[E]



(Unesp-1991) Sendo ABCDA B C D um cubo, calcular o seno do ângulo α.



resposta:d = √6/3



(Unesp-1991) Um plano intercepta uma esfera perpendicularmente a um de seus diâmetros num ponto P distinto do centro e interior a esse diâmetro.
a) Provar que a intersecção é um círculo.
b) Determinar (em função do raio r da esfera) a distância do ponto P ao centro, a fim de que o círculo intersecção tenha área igual à metade da de um círculo máximo da esfera.

resposta:b) OP = (r.√2)/2



(Fuvest-gv-1991) Na figura a seguir I e J são os centros das faces BCGF e EFGH do cubo ABCDEFGH de aresta a.
Os comprimentos dos segmentos AI e IJ são respectivamente:
a) a√6/2, a√2
b) a√6/2, a√2/2
c) a√6, a√2/2
d) a√6, a√2
e) 2a, a/2



resposta:[B]



(Fuvest-gv-1991) Um cálice com a forma de cone contém V cm³ de uma bebida. Uma cereja de forma esférica com diâmetro de 2 cm é colocada dentro do cálice. Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas laterais do cálice e o líquido recobre exatamente a cereja a uma altura de 4 cm a partir do vértice do cone, determinar o valor de V.



resposta:4π(Pi)/3 cm³



(Fuvest-1992) Um copo tem a forma de um cone com altura 8 cm e raio da base 3 cm. Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e de água. Para que isso seja possível a altura x atingida pelo primeiro líquido colocado deve ser:
a) 8/3 cm
b) 6 cm
c) 4 cm
d) 4√3 cm
e) 4³√4 cm



resposta:[E]



(Fuvest-1992) Uma garrafa de vidro tem a forma de dois cilindros sobrepostos. Os cilindros têm a mesma altura 4 cm e raios das bases R e r, respectivamente.
Se o volume V(x) de um líquido que atinge a altura x da garrafa se expressa segundo o gráfico I a seguir, quais os valores de R e r≠



resposta:R = 3 cm e r = 2 cm



(Unicamp-1992) Dado um cubo de aresta (L), qual é o volume do octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo≠

resposta:V = (L)³/6







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