Questões de matemática

Tópicos de Sistemas Lineares

(Fuvest-1994) Considere o sistema:

{ x - my = 1 - m
þ
ÿ(1 + m) x + y = 1

a) Prove que o sistema admite solução única para cada número real m.
b) Determine m para que o valor de x seja o maior possível.

resposta:a) D ≠ 0, ¯ m

IR
b) m = - 1/2

(Unicamp-1992) O IBGE contratou um certo número de entrevistadores para realizar o recenseamento em uma cidade. Se cada um deles recenseasse 100 residências, 60 delas não seriam visitadas. Como, no entanto, todas as residências foram visitadas e cada recenseador visitou 102, quantas residências tem a cidade≠

resposta:3060 residências

(Fuvest-1995) Sendo (x, y) e (x‚, y‚) as soluções do sistema

{x² + 3xy = 0
þ
ÿx - y = 2

então y + y‚ é igual a:
a) -5/2.
b) -3/2.
c) 3/2.
d) 5/2.
e) 3.

resposta:[A]

(Ita-1995) Se S é o conjunto dos valores de a para os quais o sistema:

{x + y + z = 0
þx + (log3a)²y + z = 0
ÿ2x + 2y + [log3(27/a)]z = 0

é indeterminado, então:
a) S ⊂ [-3, 3]
b) S é vazio
c) S ⊂ [2, 4]
d) S ⊂ [1, 3]
e) S ⊂ [0, 1]

resposta:[A]

(Pucsp-1995) Se

{27^x = 9^y
þ
ÿlogÙx = 2,

então x + y é igual a:
a) 5/3.
b) 10/9.
c) 8/9.
d) 2/3.
e) 5/9.

resposta:[B]

(Unicamp-1995) Em um restaurante, todas as pessoas de um grupo pediram um mesmo prato principal e uma mesma sobremesa. Com o prato principal o grupo gastou R$ 56,00 e com a sobremesa R$ 35,00; cada sobremesa custou R$ 3,00 a menos do que o prato principal.
a) Encontre o número de pessoas neste grupo.
b) Qual o preço do prato principal≠

resposta:a) 7 pessoas
b) R$ 8,00

(Unicamp-1995) Encontre o valor de a para que o sistema

{2x - y + 3z = a
þx + 2y - z = 3
ÿ7x + 4y + 3z = 13

seja possível. Para o valor encontrado de a ache a solução geral do sistema, isto é, ache expressões que representem todas as soluções do sistema. Explicite duas dessas soluções.

resposta:a = 2
S = {[(7-5z)/5, (5z+4)/5, z)]} (z

IR)

(Unesp-1995) Seja (1, 1, 1) uma solução particular do sistema linear

{x + ay = 2
þ
ÿ2x + by - az = 0,

nas incógnitas x, y e z. Nessas condições, o conjunto solução do sistema é;
a) {(x, - x + 2, 3x - 2) ¦ x

IR}.
b) {(1, 1, 1)}.
c) {(x, x - 2, 3x - 2) ¦ x

IR}.
d) {( - y + 2, y, 5y - 4) ¦ y

IR}.
e) {(z, z, z) ¦ z

IR}.

resposta:[A]

(Unitau-1995) O sistema

{ x - 2y = 5
þ
ÿ-3x + 6y = -15

a) é possível e determinado.
b) é possível e indeterminado.
c) é impossível.
d) tem determinante principal diferente de zero.
e) não admite nenhuma raiz real.

resposta:[B]

(Unitau-1995) Para que valores de k o sistema a seguir, não tem solução≠

{4x² + 9y² = 36
þ
ÿ x² + y² = k²

resposta:k < -3 ou k > 3

(Unitau-1995) Calcule o valor de k para que o sistema a seguir tenha solução diferente da trivial.

{3x + y + z = 0
þ2x + (2 - k)y + 2z = 0
ÿx + y + (1 - k)z = 0

resposta:k = 0 ou k = 2

(Unitau-1995) Para que valores de k o sistema a seguir é possível e determinado≠

resposta:k = -4,4

(Fuvest-1991) Existem dois valores de m para os quais tem solução única o sistema:

{x + y = m
þ
ÿx² + y² = 4

A soma desses dois valores de m é:
a) -2
b) -2√2
c) 0
d) 2
e) 2√2

resposta:[C]

(Fuvest-1991)
{2y + x = b
S = þ2z - y = b
ÿaz + x = b

Resolva o sistema S para:
a) a = 0 e b = 1
b) a = 4 e b = 0

resposta:a) V = {(1, 0, 1/2)}
b) V = {(-4α, 2α, α); α

IR}

(Unesp-1991) Seja o sistema linear

{x - 2y = 1
S= þ2x - y = a
ÿx - ay = -26

Determinar os seguintes subconjuntos de R:
L = {a

R: S é possível determinado}
L‚ = {a

R: S é possível indeterminado}
L3 = {a

R: S é impossível}

resposta:L = {-7, 11}
L‚ = ∅
L3 = IR - {-7, 11}

(Fuvest-gv-1991) Determinar quatro números reais de modo que suas somas, três a três, sejam 10, 11, 12 e 13.

resposta:16/3; 13/3; 10/3; 7/3

(Fuvest-1992) Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:

- Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;
- Carlos e Andréia pesam 123 kg e
- Andréia e Bidu pesam 66 kg.

Podemos afirmar que:
a) Cada um deles pesa menos que 60 kg.
b) Dois deles pesam mais de 60 kg.
c) Andréia é a mais pesada dos três.
d) O peso de Andréia é a média aritmética dos pesos de Carlos e Bidu.
e) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.

resposta:[E]

(Fuvest-1992) a) Resolva o sistema:

{2x - y = - 3
þ
ÿ- x + y = 2

onde x e y são números reais.

b) Usando a resposta do item (a) resolva o sistema:

{2(a² - 1) - (b - 1)² = - 3
þ
ÿ- (a² - 1) + (b - 1)² = 2

resposta:a) V = {(-1, 1)}
b) V = {(0, 0); (0, 2)}

(Unicamp-1992) Sejam A e B duas matrizes de ordem n x m e m x n, respectivamente, com m < n. Prove que det(A . B) = 0, baseado em propriedades do sistema de equações lineares.

resposta: (imagem abaixo)
O sistema dado se escreve (AB)X = 0.
Como (AB)X = A(BX), temos:
(AB)X = 0 Ì A(BX) = 0.
Seja X solução de BX = 0mx.
Temos:
(1) BX = 0mx√A(BX) = A . 0mx√(AB)X=0(2)
Toda solução de (1) é também solução de (2), isto é, o conjunto verdade de BX = 0 m x1 é subconjunto do conjunto verdade de (AB)X = 0.

Considere BX = 0 m x 1. Como B é m x n e m